Primos de Mersenne

c63ae35516b5ac57a45966a5e3acc92a.jpgLos números primos son aquellos sólo divisibles por 1 y por sí mismo. Son primos, por ejemplo, el 2, el 5, el 11 y el 37, pero no el 21 (por ser divisible por 3 y por 7 además de por 1 y por sí mismo). Para determinar si un número es o no primo, no se conoce en general nada mejor que buscarle eventuales divisores (hasta su raíz cuadrada). Si no aparece ninguno, el número es primo.

Se sabe desde hace miles de años que la cantidad de números primos es infinita. Hay muchas demostraciones de este hecho, empezando por una milenaria de gran belleza y simplicidad, realizada por Euclides, y sobre la que volveremos en algún momento en este blog.

Pero aun habiendo una cantidad infinita de números primos, la estructura de su distribución encierra muchos problemas fascinantes que todavía no han sido resueltos. Por ejemplo, se sabe que hay muchos pares de primos que difieren en sólo dos unidades, como 11 y 13, ó 1997 y 1999, ó 2027 y el 2029, ó 15486281 y 15486283, y muchos otros con incluso miles de dígitos decimales. Estos pares de primos reciben el nombre de primos mellizos. Pero todavía es un misterio sin resolver si la cantidad de pares de primos mellizos es infinita o si sólo hay un número finito de mellizos (es un problema abierto).

Otra familia particular es la de los primos de Mersenne. Deben su nombre a Marin Mersenne, un cura, filósofo y teórico musical francés que en el siglo XVII estudió los números de la forma 2p-1 (esto es, 2 multiplicado por sí mismo p veces, a lo que luego se le resta 1). Los primeros primos de Mersenne son 3, 7 y 31, que se obtienen cuando p toma los valores 2, 3 y 5 respectivamente.

Algunas de las conjeturas propuestas por Mersenne sólo pudieron ser comprobadas o refutadas en el siglo XX. Hoy en día los números primos más grandes que se conocen son primos de Mersenne.

Hay una organización llamada (acrónimo de Great Internet Mersenne Prime Search, o Gran Búsqueda de Primos de Mersenne por Internet) dedicada a la búsqueda de estos primos. GIMPS es una sociedad colaborativa entre voluntarios de todo el mundo que ofrecen el tiempo en que sus computadoras personales están ociosas (esto es, cuando no están usando intensivamente el procesador, que es la mayor parte del tiempo).

La búsqueda de nuevos primos de Mersenne se centra actualmente en candidatos inmensos, de millones de dígitos. Determinar si un número de ese tamaño es o no primo requiere de muchísimo poder de cálculo, y lo que hace GIMPS es organizar esa enorme tarea de procesamiento distribuyendo los candidatos a primos entre los voluntarios. Con la capacidad de procesamiento que tienen actualmente las máquinas hogareñas lleva aproximadamente un mes de procesamiento chequear si uno de estos números gigantes es o no primo.

Ya se han descubierto 47 primos de Mersenne, los últimos 13 de los cuales son hallazgos debidos al GIMPS. El último ocurrió hace unos días y fue un noruego, Odd Magnar Strindmo, que en un mes de cálculos ayudó a comprobar con su computadora que 242643801 - 1 es primo. Se trata de un número de 12837064 dígitos decimales que puede verse aquí.

Si bien la búsqueda de estos primos récord es una tarea puramente "deportiva", los métodos involucrados para hallarlos suelen introducir mejoras en los algoritmos de cálculo que, tarde o temprano, y como nos muestra la historia de la matemática, terminan teniendo aplicaciones prácticas. Los números primos son un ejemplo de ello. Durante las últimas décadas del siglo pasado han comenzado a ser utilizados en métodos criptográficos que nos permiten hacer transacciones comerciales seguras mediante tarjetas de crédito a través de internet.

Fuente: http://adrianpaenza.blog.arnet.com.ar/archive/2009/06/index.html

1 comentario:

Victor Arteaga dijo...

Y si determinamos todos los primos de Mersenne, con un solo proceso y en poco tiempo... como observamos, el tema no es tan complejo como se lo expone.

EVALUANDO Rango:(4,57885180)

2^{5}-1 Mp[3] Primo de Mersenne
2^{7}-1 Mp[4] Primo de Mersenne
2^{13}-1 Mp[5] Primo de Mersenne
2^{17}-1 Mp[6] Primo de Mersenne
2^{19}-1 Mp[7] Primo de Mersenne
2^{31}-1 Mp[8] Primo de Mersenne
2^{61}-1 Mp[9] Primo de Mersenne
2^{89}-1 Mp[10] Primo de Mersenne
2^{107}-1 Mp[11] Primo de Mersenne
2^{127}-1 Mp[12] Primo de Mersenne
2^{521}-1 Mp[13] Primo de Mersenne
2^{607}-1 Mp[14] Primo de Mersenne
2^{1279}-1 Mp[15] Primo de Mersenne
2^{2203}-1 Mp[16] Primo de Mersenne
2^{2281}-1 Mp[17] Primo de Mersenne
2^{3217}-1 Mp[18] Primo de Mersenne
2^{4253}-1 Mp[19] Primo de Mersenne
2^{4423}-1 Mp[20] Primo de Mersenne
2^{9689}-1 Mp[21] Primo de Mersenne
2^{9941}-1 Mp[22] Primo de Mersenne
2^{11213}-1 Mp[23] Primo de Mersenne
2^{19937}-1 Mp[24] Primo de Mersenne
2^{21701}-1 Mp[25] Primo de Mersenne
2^{23209}-1 Mp[26] Primo de Mersenne
2^{44497}-1 Mp[27] Primo de Mersenne
2^{86243}-1 Mp[28] Primo de Mersenne
2^{110503}-1 Mp[29] Primo de Mersenne
2^{132049}-1 Mp[30] Primo de Mersenne
2^{216091}-1 Mp[31] Primo de Mersenne
2^{756839}-1 Mp[32] Primo de Mersenne
2^{859433}-1 Mp[33] Primo de Mersenne
2^{1257787}-1 Mp[34] Primo de Mersenne
2^{1398269}-1 Mp[35] Primo de Mersenne
2^{2976221}-1 Mp[36] Primo de Mersenne
2^{3021377}-1 Mp[37] Primo de Mersenne
2^{6972593}-1 Mp[38] Primo de Mersenne
2^{13466917}-1 Mp[39] Primo de Mersenne
2^{20996011}-1 Mp[40] Primo de Mersenne
2^{24036583}-1 Mp[41] Primo de Mersenne
2^{25964951}-1 Mp[42] Primo de Mersenne
2^{30402457}-1 Mp[43] Primo de Mersenne
2^{32582657}-1 Mp[44] Primo de Mersenne
2^{37156667}-1 Mp[45] Primo de Mersenne
2^{42643801}-1 Mp[46] Primo de Mersenne
2^{43112609}-1 Mp[47] Primo de Mersenne
2^{57885161}-1 Mp[48] Primo de Mersenne
<----- REPORTE FINAL ----->
Mp Primos:48
Mn Compuestos:3443913

Tiempo Evaluacion: Tmpo:21:58
*** EVALUACIONES COMPLETADAS ***