LA SUCESIÓN DE FIBONACCI


Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media en Europa. Hizo contribuciones a la aritmética, al álgebra y a la geometría.

Estrechamente emparentada con la razón áurea (a la que tiende la razón de dos términos consecutivos) se encuentra la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (cada término es la suma de los dos anteriores).

De modo intuitivo o consciente, esta serie numérica ha sido utilizada por las distancias proporcionales que guardan sus términos.

La sucesión de Fibonacci es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... Cada número es la suma de los dos anteriores.
Leonardo Pisano Fibonacci
(1170 - 1250)

En el girasol aparecen espirales formadas por una cantidad de semillas que es siempre un número de la sucesión de Fibonacci.
Espirales en el girasol

Bartók utilizó la sucesión de Fibonacci para componer buscando la proporción áurea entre el número de compases.
Béla Bartók
(1881 - 1945)

Bartók usó la serie para crear su "escala Fibonacci". En su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga nos muestra la aparición de la serie (y de la razón áurea).

La "escala Fibonacci" de Bartók


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esde muy antiguo se sabe que una cuerda tensa, al pulsarla, vibra emitiendo un sonido característico.

El sonido se produce cuando un objeto vibra. Por ejemplo, cuando una persona habla, el sonido que emite es producido por las vibraciones de sus cuerdas vocales. Cuando tocamos un tambor, un pedazo de madera o de metal, una cuerda de violín, etc., estos cuerpos vibran.

Parece ser que fueron los pitagóricos, o incluso el propio Pitágoras, quien descubrió que si esa cuerda se sujetaba por la mitad, cada uno de las dos partes en que quedaba dividida la cuerda producía un sonido consonante (agradable al oído) con el anterior, pero más agudo. Este sencillo pero importante hallazgo es el fundamento de la música.

La pregunta más importante, y justamente la que trataremos de responder en las siguientes páginas, es:

VALE, PERO ¿POR QUÉ NOS SUENAN BIEN?

Hoy poseemos mucha más información que los pitagóricos sobre la naturaleza y transmisión de los sonidos. Veamos pues qué sucede cuando hacemos vibrar una cuerda.
En la siguiente escena puedes ver una cuerda, sujeta por ambos extremos. Modifica el tiempo para ver qué sucede cuando hacemos vibrar la cuerda.


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Como ves, el punto pulsado en la cuerda oscila verticalmente entre dos extremos: realiza un "sube y baja" conocido como movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del punto son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento. La distancia que separa en cada momento el punto de su centro de equilibrio (cuerda en reposo) se llama elongación y.

La elongación máxima, es decir, la mitad de la distancia entre los dos extremos, se llama amplitud A. Al número de oscilaciones completas (dobles) que realiza por segundo se le llama frecuencia F, y su unidad es el hertzio (hz). Es decir, cuando decimos que el punto oscila a 100 hz queremos señalar que realiza 100 oscilaciones completas por segundo.

Comprueba en la escena anterior que la frecuencia es independiente de la amplitud
(los osciladores con esta propiedad se llaman armónicos).

Al tiempo que tarda el punto en realizar una oscilación completa se le llama período T. Si te fijas bien en las definiciones observarás que T = 1 / F, así que conocer la frecuencia equivale a conocer el período. (No lo veo, quiero ayuda)

Representemos ahora el movimiento de ese punto con el paso del tiempo t, de forma que dos instantes diferentes determinen necesariamente dos puntos diferentes de la gráfica.

Modifica los valores de la siguiente escena y observa el efecto causado.
Nota: la escala del tiempo está muy aumentada para poder apreciar bien la gráfica.


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a presencia de un medio elástico (como el aire) permite que el movimiento del punto transmita su vibración a otras partículas del aire hasta llegar a nuestro tímpano.

El sismógrafo registra la vibración de la tierra cuando se origina un seísmo

Por otra parte, la vibración también se transmite por la propia cuerda (que también es un medio elástico). De hecho, como veremos más adelante, la suma de todas las vibraciones de los puntos determinará en la cuerda una vibración conjunta que es la que se transmite al aire.

La transmisión de energía al aire se llama onda sonora, y al movimiento conjunto de las partículas se le conoce como movimiento ondulatorio.

Las olas son ondas transversales

No debes confundir onda sonora con ola. Las olas son también ondas, pero de otro tipo. Son ondas transversales, lo que indica que el punto oscila perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda (como un corcho en el mar, al que las olas hacen subir y bajar). También son de este tipo las ondas que se transmiten por la propia cuerda (y formarán, como veremos más adelante, las llamadas ondas estacionarias).

En cambio, las ondas sonoras son ondas longitudinales, es decir, los puntos oscilan en la misma dirección en que la onda se propaga (de la misma forma que una ficha de dominó derriba toda una fila de fichas o que muelle se estira y encoge).

Las ondas sonoras son longitudinales

Cada partícula vibra en movimiento armónico y transmite su vibración a la partícula vecina

Se llama foco al lugar donde se origina la perturbación, y frente de onda al punto más distante de éste.

Resulta entonces que en un instante dado todas las moléculas del aire vibran con el mismo movimiento armónico que el foco del sonido. Pero la vibración no llega a la vez a todas las partículas, sino que tarda algún tiempo tx dependiendo de la distancia x a la que se encuentre cada partícula del foco en la cuerda vibrante.

Este retardo en empezar a vibrar provoca que en un instante dado moléculas diferentes pueden ocupar posiciones diferentes dentro de su mismo movimiento armónico. Mientras una puede estar "en un extremo", la otra puede encontrarse "en el otro extremo" o "entre los extremos". Dicho de otra forma, dos partículas pueden encontrarse en la misma fase, o bien desfasadas.

A la distancia que hay entre una partícula y la más próxima "en fase" se le llama longitud de onda. La longitud de onda es la distancia entre una partícula y la siguiente en la misma fase

Repasemos algunos términos utilizados:

Amplitud: el máximo valor de la función onda. A mayor amplitud, más fuerte se oye. AMPLITUD: La máxima elongación de la onda. A mayor amplitud, más fuerte se oye el sonido.
Longitud de onda: distancia entre una partícula y la siguiente en la misma fase LONGITUD DE ONDA: Longitud necesaria para completar un ciclo.

PERIODO: El tiempo necesario para completar un ciclo.

FRECUENCIA:
El número de ciclos que la onda completa en un tiempo determinado.
Se mide en hercios.
Así, 400 Hz significa que la onda completa 400 ciclos cada segundo.

En la siguiente escena puedes observar la relación entre el movimiento armónico simple que realiza cada una de las partículas, y el movimiento ondulatorio que realizan todas las partículas en conjunto. También verás, en la izquierda y color negro, una representación de las sucesivas y periódicas condensaciones y rarificaciones del aire provocadas por los desfases.


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Vemos que el sonido es la vibración del aire, o de cualquier otra materia (agua, madera, etc). De hecho, no puede darse el sonido a través del vacío.

Las moléculas forman un patrón de alternativas condensaciones y rarificaciones. Observa además que cada volumen de aire no se desplaza, sino que son sus moléculas las que se desplazan un poco antes de regresar a su lugar de origen. Esto origina zonas del aire más densas que otras (condensaciones y rarificaciones).

Cada punto alto representa una condensación y cada punto bajo una rarificación.
Las ondas sonoras son representadas frecuentemente en gráficas como esta, donde cada condensación corresponde a un punto alto de presión (o densidad del aire) y cada rarificación a un punto bajo

Como hemos visto, la función que nos ofrece el valor de la elongación de cualquier punto en el movimiento ondulatorio depende de dos variables: el tiempo y la distancia. Esto significa que el movimiento ondulatorio puede representarse gráficamente mediante una superficie (dos variables llevan a dos dimensiones) en el espacio.

En la siguiente escena puedes ver esa superficie. Modifica la variable tiempo y observa que, en cada momento, todos los puntos a igual distancia del foco están en fase, y que los puntos situados a una longitud de onda de distancia también están en fase. Esta doble periodicidad es la característica fundamental del movimiento ondulatorio.


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La onda sonora se transmite por el aire como una burbuja que se hincha en todas las direcciones. En la siguiente escena puedes ver una representación de las condensaciones y rarificaciones del aire a su paso. Observa que:

La velocidad de la onda no varía en ningún caso (suponiendo el medio homogéneo).

Cuando aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye.

Cuando aumenta la amplitud, aumenta la presión sobre el frente de ondas.


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ealicemos ahora el experimento de Pitágoras. Cojamos la cuerda y dividámosla en dos partes iguales.

Aunque los pitagóricos no conocían nada acerca de toda la teoría de los movimientos ya descritos, tuvieron el brillante acierto de intuir que el sonido consistía en una serie de golpes (en el aire), de forma que cuanto más rápidos (con mayor frecuencia) se sucediesen los golpes más agudo sería el sonido. Al tocar a la vez una cuerda y su mitad, explicaban que el sonido resultaba agradable porque la cuerda corta golpeaba al aire exactamente dos veces más rápido que la cuerda larga, por lo que la llegada de los golpes a nuestros oídos se producía en un orden esperado, sin sobresaltos, sin tensión.

Esta explicación no es muy desacertada, como puedes comprobar en la siguiente escena, en donde también puedes oír sonidos de varias frecuencias. Observa, en particular, el patrón de compresiones y expansiones del aire formado por las dos vibraciones. Los golpes se suceden en orden, en armonía.


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Podrás oír algunos sonidos.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

En la escena anterior las ondas nos aparecen diferenciadas, como si llegasen a nuestros oídos por separado. Esto no suele ser así. Lo más frecuente es que las ondas se superpongan antes de llegar a nosotros. Esta superposición es fácil de traducir a términos físicos: simplemente, cada punto vibra con la suma de las elongaciones de las dos ondas.

Ahora bien, dos instrumentos pueden sonar al mismo tiempo y sin embargo nuestro oído es capaz de diferenciarlos. Esto significa que un movimiento ondulatorio complicado puede ser analizado (digamos, descompuesto) en una suma de ondas simples.

La superposición de ondas puede dar origen a la interferencia tanto constructiva como destructiva de ellas, según la fase en que se encuentren ambas en cada momento.

Veamos qué sucede cuando dos ondas con la misma frecuencia se encuentran en fase:

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA

En la interferencia constructiva la onda se refuerza

Una aplicación: el estetoscopio
Este instrumento fue inventado en 1816 por el médico francés R.T.H. Laennec. A este hombre, por pudor, no le agradaba la idea de aplicar su oreja sobre el pecho de las pacientes, por lo que se acostumbró a utilizar un tubo de papel. Posteriormente perfeccionó la idea aplicando el principio de interferencia constructiva.

Veamos ahora qué sucede cuando dos ondas con la misma frecuencia se encuentran en invertidas (desfasadas 180º una con respecto a la otra):

INTERFERENCIA DESTRUCTIVA

En la interferencia destructiva la onda se anula

Puedes parar y volver a animar la imagen pulsando sobre ella.


Una aplicación: la cancelación del ruido
La interferencia destructiva puede ser muy útil. Es muy importante que el piloto de un avión oiga lo que sucede a su alrededor, pero el ruido del motor representa un problema. Por eso, los pilotos pueden usar unos auriculares especiales conectados a un micrófono que registra directamente el sonido del motor. Un sistema en los auriculares crea una onda inversa a la que llega a través del micrófono. Esta onda es emitida, de forma que neutraliza la primera. En los automóviles se está experimentando con un sistema similar.

¿Qué sucederá cuando dos ondas de diferente frecuencia se superpongan? Imagina, por ejemplo, que dos instrumentistas tocan al unísono, produciendo ondas de la misma amplitud. Pero uno de ellos emite una frecuencia de 440 Hz, mientras el otro la emite de 450 Hz. En esta situación, no oirás un sonido constante. El volumen de los sonidos combinados sube y baja.

Cuando se encuentren dos condensaciones o dos rarificaciones se producirá interferencia constructiva y la amplitud (el volumen) subirá. Pero cuando se encuentre una condensación con una rarificación se producirá interferencia destructiva, por lo que el volumen descenderá. Estas rápidas y periódicas variaciones de volumen se llaman batidos.

En el ejemplo anterior, oirás 10 batidos por segundo, pues esa es la diferencia entre 450 y 440. Los músicos utilizan los batidos para conocer si el instrumento se encuentra bien afinado. El músico escucha una frecuencia determinada (en la orquesta suele ser de 440 Hz) y trata de ejecutar un sonido con exactamente la misma frecuencia. La presencia de batidos le advertirá si el instrumento está fuera de tono. Cuando el batido desaparece, el músico sabe que su instrumento está bien entonado.

BATIDOS

Cuando dos sonidos con frecuencias cercanas son emitidos a la vez,  puedes oír batidos.

Observa ahora en la siguiente escena cómo se superponen las ondas que emite una cuerda y su mitad. Fíjate en que las zonas de interferencia destructiva apenas modifican la forma de la onda, lo que evita que percibamos el batido (este se produce demasiado rápido).


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Podrás oír algunos sonidos.

Compara la escena anterior con la siguiente, en donde las dos frecuencias están en relación 11:10, es decir, muy próximas (la cuerda mayor es sólo 1,1 veces más larga que la pequeña). Verás que la forma de la onda sufre una fuerte modificación, resultando que la onda compuesta adquiere periódicamente valores próximos a cero. Digamos que "ahora oímos, ahora no oímos". Esto provoca un rápido efecto de batido, una disonancia, un chirrido desagradable (o tenso) para el oído.


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La onda roja es la combinación de la azul y la verde

La primera onda se repite después de 1/200 de segundo, la segunda después de 1/300, pero la combinación de ambas tarda 1/100 en repetirse.

Por otra parte, la complejidad de la onda resultante añade riqueza de textura al tono.

Supongamos ahora que el segundo tono cambia a 309 pulsaciones por segundo. Harán falta ahora 309 pulsaciones del segundo tono y 200 pulsaciones del primero para que ambos vuelvan a coincidir en fase. Esto lleva 1 segundo. En este tiempo, la onda combinada no se repetirá, de forma que el sonido nunca será el mismo en cada fracción de segundo. Además, en este tiempo, surgirán multitud de batidos, que resultan inquietantes al oído.

Generalicemos matemáticamente. Si la primera onda tiene período T1 y la segunda T2, y las dos ondas entran en fase cuando la primera recorre n ciclos y la segunda m (n y m enteros), como ha pasado el mismo tiempo para ambas tenemos que:

n T1 = m T2

O lo que es lo mismo,

F1 / F2 = n / m

Cuanto más pequeños sean los enteros n y m, menor será el tiempo que tarda la onda combinada en repetirse. Así que los resultados mejores se obtendrán cuando la proporción entre las frecuencias de las ondas originales se pueda expresar como una fracción de números enteros pequeños. Por ejemplo, 2:1 (octava), 3:2 (quinta), 4:3 (cuarta).

Cuanto más grande es la raya azul, más disonancia se percibe.
En este gráfico se muestra la percepción de la disonancia según la proporción.
Las proporciones con números pequeños abren grandes intervalos de consonancia.

La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi) a 7 octavas.

(3/2)12 / (2:1)7 = 1,0136...

A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.

Hemos visto que al dividir una cuerda por la mitad la frecuencia se duplica y que los sonidos emitidos armonizan entre sí. Esta operación, dividir entre 2, la podemos realizar varias veces. Así obtenemos cuerdas cada vez más pequeñas cuyos sonidos armonizan entre sí. Decimos entonces que todas ellas emiten la misma nota, y a la distancia sonora entre dos cuerdas consecutivas (en proporción 2:1) le llamamos octava.

Por ejemplo, al sonido cuya frecuencia es 32,7 Hz le llamamos nota Do. Por tanto, la cuerda mitad, y la mitad de la mitad, etc, emiten la misma nota Do. Para distinguir los distintos Do, los numeramos. Entre un Do y el siguiente hay siempre la misma distancia sonora: una octava.

Longitud de la cuerda Nota Frecuencia (Hz)
1 Do 1 32,7
1/2 Do 2 65,4
1/4 Do 3 130,8
1/8 Do 4 261,6
1/16 Do 5 523,2
1/32 Do 6 1046,5
1/64 Do 7 2093
1/128 Do 8 418

uando un objeto vibra, como por ejemplo una cuerda del piano, produce ondas complejas, que son sumas de determinadas ondas simples.

Hasta ahora hemos supuesto que la fuente sonora, la cuerda, se comportaba como un diapasón. Es decir, emitía a través del aire una onda armónica pura que viajaba por el aire (le llamaremos onda 'viajera').

Sin embargo, la cuerda del instrumento está sujeta por los extremos. La longitud de la cuerda, así sujeta, determina la frecuencia con la que puede vibrar.

Veamos qué ocurre.

Imagina que oyes una flauta y después una trompeta emitiendo la misma nota. Puedes distinguir fácilmente ambos sonidos. La razón es que aunque emiten la misma frecuencia fundamental, emiten además otras frecuencias secundarias que se unen a la primera con diferentes intensidades.

Las frecuencias (incluida la fundamental) que emite a la vez el instrumento se llaman armónicos. Las distintas intensidades con las que cada instrumento emite estos armónicos forman, en conjunto, el sonido completo que oímos. Esta cualidad se conoce como timbre del instrumento.

CUERDAS (violín, guitarra, piano, etc.)

Consideremos una cuerda de longitud L. Al pulsar la cuerda, se produce una onda transversal viajera (como las olas), con amplitud A, que recorre la cuerda hasta los extremos. Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja (rebota). Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajan una contra otra hasta superponerse en la cuerda.

Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de onda es 2L.

Habrá puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También habrá puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que la amplitud será cero (no se mueven).

La suma de estas dos ondas reflejadas (iguales pero en sentido opuesto) se llama onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Es esta oscilación la que se emitirá al aire.

La longitud limitada de la cuerda limita los modos en que esta puede vibrar. Cada uno de estos modos se llama armónico (primer armónico o fundamental, segundo armónico, etc).

Puedes observar la esencia de este proceso en la siguiente escena.


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Armónicos de una cuerda

Observa que el primer armónico tiene como longitud de onda el doble de la longitud de la cuerda. El segundo armónico tiene la mitad de longitud de onda, por lo que su frecuencia es doble. El tercer armónico tendrá frecuencia triple, y así sucesivamente. Por tanto, las frecuencias de los armónicos son los sucesivos múltiplos de la frecuencia del armónico fundamental.




Fuente: http://web.educastur.princast.es

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