ENTRE LAS MATEMATICAS Y LA MUSICA


La evolución de la música y las matemáticas a lo largo de la historia ha marcado el tipo de relación existente entre ambas en cada momento de su desarrollo. A pesar de que el sustrato subyacente a cada una de estas disciplinas se remonte a los orígenes del ser humano, no es posible hablar de la existencia de nexos de unión hasta que aparecen los primeros signos de teorización tanto en las matemáticas como en la música.
Es en Grecia donde los principios unificadores, que constituyen el núcleo tanto de las matemáticas por un lado, como de la música por otro, alcanzan un grado suficiente de madurez como para que se establezcan las primeras relaciones. Ambos términos proceden respectivamente de los vocablos griegos musiké, “de las musas”, y mathema, que significa “aquello que se aprende”.
La concepción clásica de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la edad media y no fue hasta el siglo XII cuando se creó una nueva división de las ciencias, llamada escolástica divina, que no la incluía específicamente. Paralelamente, compositores y ejecutantes empezaron a separarse de la tradición pitagórica creando nuevos estilos y tipos de música. El cambio de paradigma musical puede verse en la evolución del canto monódico gregoriano, que poco a poco se fue trasformando en música polifónica con diferentes instrumentos y voces. Por otra parte la ejecución de obras más complejas llevó a experimentar con métodos de afinación alternativos que dieron lugar a una variación de la afinación pitagórica llamada afinación justa. En el nuevo método se seguían utilizando las matemáticas como herramienta para calcular los intervalos, pero olvidando los principios pitagóricos, con lo que se abandonaba el modelo de belleza clásico y la música se disociaba de los números. Este cambio de actitud causó desacuerdo entre los matemáticos, quienes querían una adherencia estricta a sus fórmulas, y los músicos, que buscaban reglas fáciles de aplicar.
El uso de las matemáticas para la formalización y el cálculo de ciertos aspectos de las composiciones fomenta la aparición y permanencia de dos tipos de situaciones entre matemáticas y música, ya consideradas como disciplinas. Por un lado, continuando en cierta forma con la tradición pitagórica, el músico establece en ocasiones un esquema matemático para la creación de sus composiciones sobrepasando el uso habitual dado a las matemáticas, por otro, el músico crea la obra de forma intuitiva utilizando cánones estéticos, carentes aparentemente de componente formal, y es el matemático el que busca a posteriori un nexo entre la obra y las matemáticas.
Un elemento matemático que ilustra los dos tipos de situación es la sucesión de Fibonacci. Los números de Fibonacci son los que forman la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., en la que a partir del tercer término cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión tiene varias propiedades interesantes; por ejemplo, la sucesión formada por las razones entre cada número de Fibonacci y el anterior, 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5,..., tiene como límite la razón áurea (1.618...). Esta proporción se puede encontrar ampliamente tanto en el arte como en estructuras naturales.
Existen diferentes autores, como es el caso de Béla Bartók (1881-1945), que han utilizado dicha sucesión como patrón para determinar ciertos elementos de sus composiciones. Dicho autor desarrolló una escala musical basándose en la sucesión que denominó escala fibonacci. Así mismo, en su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga muestra la aparición de la serie y de la razón áurea. Por otra parte, estudios realizados acerca de la Quinta sinfonía de Beethoven (1770-1827) muestran como el tema principal incluido a lo largo de la obra, está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión. También en varias sonatas para piano de Mozart (1756-1791) la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.
Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johann Sebastian Bach (1685-1750). En ella determinados motivos se repiten, por disminución a escalas menores, una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal. Este es un ejemplo de pieza musical autosemejante, que, como veremos más adelante, es una característica de la geometría fractal, un concepto matemático de finales del siglo XX. Existen trabajos que analizan la manifestación de estas características fractales en otras obras, como en el tercer movimiento de la sonata numero 15 de Beethoven y el triángulo de Sierpinski, o la analogía entre el conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven.

__ EL SIGLO XX. MÚSICA DE VANGUARDIA
Cabe decir que tanto los músicos como los matemáticos a partir del siglo XIII no han vivido estas situaciones de una forma representativa. Únicamente se han dado casos aislados de músicos, que como entretenimiento o curiosidad han utilizado desarrollos formales en sus obras, o de algunos matemáticos que han buscado relaciones matemáticas en obras ya escritas. No es hasta el siglo XX cuando la necesidad de nuevas mezclas de sonidos impulsa, de la mano de músicos de vanguardia, la búsqueda de nuevas materias primas para la inspiración dentro del universo conceptual de las matemáticas.
Un primer ejemplo de músico contemporáneo que se sirve de las matemáticas lo encontramos en Joseph Schillinguer. Este músico teórico ruso, emigrado a Estados Unidos, desarrolló, durante la década de los veinte y treinta, un detallado sistema de composición musical basado en principios científicos. A pesar de que estos estudios de Schillinguer todavía no gozan de reconocimiento masivo, su obra ha influido enormemente en la música del siglo XX, especialmente en músicos como George Gerswin, Glenn Miller o Benny Goodman, entre otros.
La base del sistema de Shillinguer es geométrica y se fundamenta en el concepto de relaciones de fase de movimientos periódicos simples. Schillinguer encontró distintas formas de proyectar estas relaciones en el ritmo, pero también en áreas mucho menos obvias como el tono, la escala, los acordes, la progresión armónica, e incluso en los aspectos semánticos y emocionales de la composición musical.
Hay quienes consideran que el sistema de Schillinguer anticipó la música por ordenador antes de que existieran los ordenadores, y que introdujo muchas técnicas algorítmicas de composición, incluso la utilización de series numéricas autosemejantes.
El exponente principal de esta nueva forma de composición es, sin duda, la música de Iannis Xenakis (1921-2001). La obra de este autor contemporáneo esta plagada de traducciones de conceptos matemáticos al plano musical. Una de sus composiciones más conocidas es Metástasis (1954). Esta pieza está basada en el desplazamiento continuo de una línea recta, modelo que se representa en la música como un glissando continuo. La contracción y expansión del registro y la densidad a través del movimiento continuo ilustran las leyes estocásticas.
Dentro del abanico de posibilidades que ha despertado el creciente interés por los conceptos matemáticos, se encuentra la música fractal. El nacimiento de esta nueva corriente ha sido posible gracias al desarrollo de las nuevas tecnologías, utilizadas tanto para la generación por ordenador de aproximaciones a fractales con altos grados de resolución, como para el modelado de los primeros bosquejos de composición que se obtienen en este proceso creativo.
El principio fundamental de la música fractal reside en la proyección del comportamiento dinámico o la estructura de un fractal sobre un espacio musical. El músico fractal es ahora el que se apropia de las matemáticas como fuente de inspiración para su obra, buscando trasladar al plano musical una serie de rasgos propios de los conjuntos fractales.
Las propiedades esenciales de los fractales utilizados en la composición de música fractal, son la autosemejanza y la autorreferencia. La autosemejanza implica invariancia de escala, es decir, el objeto fractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliación con que lo miremos. Por más que se amplíe cualquier zona de un fractal, siempre se aprecia una estructura compleja, en la que aparece muchas veces el objeto inicial. La autorreferencia se refiere a la forma de construir el fractal. Estos conjuntos son el límite de un proceso recursivo que parte de otro conjunto inicial diferente con una expresión más simple.
El proceso de traducción de los conceptos de autosemejanza y autorreferencia al plano musical supone ya un primer esfuerzo creativo para el autor de música fractal, el cual ha de identificar arbitrariamente elementos de una y otra disciplina. En el caso de los atractores extraños, una fórmula bastante utilizada a este efecto es la siguiente: una vez seleccionado un sistema caótico en un programa de música fractal, éste genera aleatoriamente valores para los parámetros del sistema y comienza a dibujar los puntos del atractor resultante. Conforme los puntos se van dibujando, se reproducen las notas que le corresponden. Esta correspondencia se establece dividiendo el espacio en el que se dibuja el atractor con una rejilla formada por regiones cuadradas y asignando a cada región una nota. Por ejemplo, puede utilizarse la coordenada x para decidir la altura de la nota y la coordenada y para decidir su duración. La órbita o trayectoria de un sistema caótico va dibujando, según avanza el tiempo, un atractor extraño en el espacio de fases. Esta evolución temporal en el espacio de fases puede aprovecharse para obtener una melodía que evolucione con el atractor.
En el caso de la utilización del conjunto de Mandelbrot como generador de música fractal, la idea es la misma que la utilizada con atractores extraños. Escogemos un punto z del plano complejo y realizamos sucesivas iteraciones mediante la ecuación f(z)=z·z+c. Este proceso iterativo producirá una secuencia de puntos complejos a los que se aplicará una determinada transformación, convirtiéndolos en notas musicales. Cuando el módulo del punto de la trayectoria sea superior a 2 (condición que garantiza que la trayectoria escapará al infinito), la trayectoria y la melodía comenzarán de nuevo desde el punto inicial.
Estos programas tienen en cuenta una serie de consideraciones que hacen que el producto obtenido a raíz de uno de estos procesos resulte en la medida de lo posible agradable al oído. Ejemplo de ello es que del enorme rango de frecuencias que puede percibir el oído humano, en lo que se refiere a la música preferimos escalas discretas. La mayoría de las composiciones musicales utilizan tan sólo ocho octavas (las mismas que tiene un piano convencional), y la mayor parte de las melodías usan sólo un pequeño subconjunto de esas notas. También se tiene en cuenta que la resolución de la música es mucho menor que la de una imagen fractal, por lo que utilizar toda la información disponible en un fractal produciría una composición excesivamente larga y complicada.
A pesar de las consideraciones del programa, la información musical proporcionada a partir de un fractal concreto suele resultar rara y desconcertante, por ello el músico debe realizar una labor de modelaje que tenga como producto final una composición agradable al oído humano. Es principalmente en este último proceso donde el artista despliega su faceta creativa.
Tanto la música fractal, los métodos de composición de Schillinguer como la música de Xenakis son ejemplos de cómo en el último siglo la música se ha servido de las matemáticas para enriquecerse. De igual forma, esta relación ha tenido lugar en la otra dirección en forma de estudios enfocados a hallar una medida de ciertos rasgos estéticos de una composición basándose en modelizaciones matemáticas.

Fractales, Un breve recordatorio

Los fractales, con el nombre de curvas no derivables o no rectificables, aparecieron en las matemáticas hacia finales del siglo XIX. En un principio, debido a su carácter eminentemente patológico, que desafiaba los cimientos de la geometría de la época, estos monstruos matemáticos fueron tomados como meras curiosidades. Eran curvas o superficies infinitamente plegadas, líneas de longitud infinita confinadas en una región acotada, superficies no derivables en ningún punto...
Es a partir de los años 70 cuando comienzan a vislumbrarse sus primeras aplicaciones en la modelización de estructuras reales. Mientras la geometría diferenciable asume que a pequeña escala la estructura de cualquier objeto se suaviza, la geometría fractal aborda el estudio de formas geométricas no diferenciables, o quebradas a cualquier escala. La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas, de forma que el objeto en cuestión no pierde complejidad por muy pequeño que sea el entorno que consideremos del mismo. Algunas estructuras naturales susceptibles de una modelización más fiel mediante geometría fractal son la estructura de nuestros pulmones, las líneas de costa, los copos de nieve o el crecimiento urbano. El término fractal (del latín fractus, “fragmentado” o “irregular”), con el que hoy se designa a este tipo de conjuntos, fue acuñado por Benoit Mandelbrot.
A pesar del amplio espectro de conjuntos que engloba la definición dada por el propio Mandelbrot en su libro The Fractal Geometry of Nature, los fractales más utilizados en la creación de música fractal son los atractores extraños. Los atractores extraños son invariantes de sistemas dinámicos caóticos. Un ejemplo de sistemas dinámicos considerados caóticos son aquellos que presentan un comportamiento aperiódico (ésto es, resultado de oscilaciones regulares que no se repiten nunca, de período infinito) resultado de un modelo totalmente determinista y que presenta gran sensibilidad a las condiciones iniciales. La sensibilidad a las condiciones iniciales implica que existe una divergencia exponencial de trayectorias inicialmente muy próximas en el espacio de fases. Por otra parte, el hecho de que la región del espacio de fases ocupada por el atractor sea acotada a causa del carácter disipativo de estos sistemas provoca también que dos trayectorias lejanas se acerquen mucho en alguna región.
Si representamos el diagrama de fases de un sistema dinámico, las dos fuerzas anteriores generan una estructura confinada en una región del espacio de fases que se conoce como atractor extraño. Como la región en la que está ubicado el atractor es acotada, se tiene, al seguir una trayectoria cualquiera, una curva de longitud infinita encerrada en un área finita. Como consecuencia un atractor extraño posee estructura fractal.
Algunos de los resultados más espectaculares obtenidos con la iteración de un sistema dinámico se dan al considerar funciones de variable compleja. El conjunto de Julia de un polinomio de variable compleja se define como la frontera del conjunto de puntos que escapan al infinito al iterar dicho polinomio. Esto significa que la órbita de un elemento del conjunto de Julia no escapa al infinito, pero existen puntos arbitrariamente cerca de él que sí que lo hacen.
Dentro de los polinomios de variable compleja, han suscitado especial interés los polinomios cuadráticos de la forma f(z)=z·z+c, donde c y z son números complejos. Julia probó que la órbita del punto crítico z=0 juega un papel esencial a la hora de saber si un conjunto de Julia es o no conexo. Si esta órbita escapa al infinito, el conjunto aparece fragmentado como polvo fractal. En caso contrario el conjunto de Julia es conexo.
Dada esta división de los conjuntos de Julia, cabe preguntarse por el conjunto de valores de c que generan conjuntos de uno u otro tipo. Esta cuestión no fue totalmente resuelta hasta 1978, cuando Mandelbrot representó en un plano todos los valores de c que producían conjuntos de Julia conexos, consiguiendo la primera representación del conjunto que hoy lleva su nombre. Dicho conjunto tiene estructura fractal al igual que los conjuntos de Julia.
R. R. / M. G.

Rafael Ríos. Pianista y estudiante de tercer curso de la Facultad de Matemáticas de la Universitat de València,
Mario García. Estudiante de tercer curso de la Facultad de Matemáticas de la Universitat de València

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